Número de Subconjuntos
Bem-vindo ao Leão Educação. Preparamos esta aula para guiar você, passo a passo, no aprendizado de número de subconjuntos de um conjunto: a regra 2n, o conjunto das partes e as variações que as provas cobram, como subconjuntos próprios, não vazios e com elementos obrigatórios. Ao longo desta aula, vamos construir juntos uma base sólida em matemática básica, com teoria, exemplos práticos e exercícios aplicados à rotina de quem presta concursos, em especial os bancários, e ao dia a dia de quem monta pacotes, equipes e combinações de itens em agências, repartições e na vida pessoal.
🎯 Objetivo e mensagem central
Este tópico depende da noção de subconjunto: você precisa lembrar que A é subconjunto de B (A ⊂ B) quando todo elemento de A também é elemento de B, e que o conjunto vazio e o próprio conjunto sempre estão entre os subconjuntos. Não é preciso ter estudado os problemas com diagramas de Venn. Aqui a contagem é de outro tipo: não contamos elementos, e sim os próprios subconjuntos. Ao final, você será capaz de calcular quantos subconjuntos um conjunto tem, quantos são próprios ou não vazios, quantos têm um elemento obrigatório e quantos elementos tem o conjunto das partes.
Para que serve isso? Sempre que alguém escolhe “alguns” itens de uma lista, está formando um subconjunto: os serviços que um cliente contrata, os servidores que compõem uma equipe, os ingredientes de um prato. Saber quantas escolhas existem permite dimensionar sistemas, planejar combinações e, nas provas, acertar questões que parecem exigir listas enormes e se resolvem com uma única conta. Também é um assunto em que as bancas gostam de armar pegadinhas de contagem e de notação, e é nelas que vamos prestar atenção.
Listando os subconjuntos
Antes de qualquer fórmula, vamos listar. Tome o conjunto A = {a, b, c}, com três elementos. Para não esquecer nenhum subconjunto, organize a lista pelo tamanho: primeiro os que não têm elemento algum, depois os de um elemento, e assim por diante.
| Elementos | Subconjuntos | Quantidade |
|---|---|---|
| 0 | ∅ | 1 |
| 1 | {a}, {b}, {c} | 3 |
| 2 | {a, b}, {a, c}, {b, c} | 3 |
| 3 | {a, b, c} | 1 |
| Total | 8 |
A tabela mostra que A tem 8 subconjuntos, e que o primeiro e o último da lista são os dois “garantidos”: o vazio (∅ ⊂ A) e o próprio A (A ⊂ A). Os demais variam conforme o conjunto. Listar funciona bem para três ou quatro elementos, mas com dez elementos a lista teria mais de mil subconjuntos. Precisamos de um jeito de contar sem listar, e ele vem da pergunta certa: o que é preciso decidir para formar um subconjunto?
Por que 2n: entra ou não entra
Para formar um subconjunto de A = {a, b, c}, olhe para cada elemento, um de cada vez, e decida: ele entra no subconjunto ou não entra? São duas respostas possíveis para o elemento a, duas para b e duas para c, e a decisão sobre um elemento não altera as opções dos outros. Cada combinação de respostas produz exatamente um subconjunto, e subconjuntos diferentes vêm de combinações diferentes. Observe na Figura 1 como as escolhas se ramificam.
Como o número de caminhos dobra a cada elemento, a conta é: 2 × 2 × 2 = 8. Para um conjunto com n elementos, multiplicam-se n fatores iguais a 2.
O caso n = 0 confirma a fórmula. O conjunto vazio não tem elemento para decidir, e tem um único subconjunto: ele mesmo. Isso combina com 20 = 1. Há ainda um segundo modo de enxergar o resultado, útil para conferir. Se você acrescenta um elemento novo a um conjunto, cada subconjunto antigo gera dois: um sem o elemento novo e outro com ele. Portanto, cada elemento acrescentado dobra a quantidade, como mostra a tabela.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1.024 |
Cada valor é o dobro do anterior. A tabela merece ser memorizada até n = 10: nas provas, o enunciado costuma dar o número de subconjuntos e pedir o número de elementos, e a resposta sai da leitura direta. Se o conjunto tem 128 subconjuntos, tem 7 elementos.
Próprios, não vazios e outras variações
O enunciado raramente pede só o total. Costuma restringir o tipo de subconjunto, e cada restrição retira da contagem um ou dois subconjuntos “garantidos”. Para n elementos, os casos mais frequentes são estes.
| O enunciado pede | O que sai da conta | Fórmula | n = 4 |
|---|---|---|---|
| todos os subconjuntos | nada | 2n | 16 |
| subconjuntos próprios (diferentes de A) | o próprio A | 2n − 1 | 15 |
| subconjuntos não vazios | o vazio | 2n − 1 | 15 |
| subconjuntos próprios e não vazios | o vazio e o próprio A | 2n − 2 | 14 |
Repare que “próprios” e “não vazios” dão o mesmo número, porque cada um retira um subconjunto, mas não são o mesmo grupo: no primeiro caso, sai o conjunto A; no segundo, sai o vazio. Quando as duas restrições aparecem juntas, saem os dois, e a conta fica 2n − 2. Essa fórmula vale a partir de n = 1; para n = 1, o conjunto {a} tem subconjuntos ∅ e {a}, e nenhum deles é próprio e não vazio, o que dá 21 − 2 = 0.
Um resultado complementar aparece quando o enunciado diz “pelo menos”: o número de subconjuntos que satisfazem “pelo menos um” é o total menos o número dos que não têm nenhum. Já usamos essa ideia no caso da agência (31 = 32 − 1). Vale também para condições maiores, como veremos mais adiante.
O fluxo resume o procedimento. Se a questão trouxer uma restrição diferente das três da tabela, como um elemento obrigatório, o raciocínio “entra ou não entra” continua valendo, e é isso que a seção sobre restrições mostra.
O conjunto das partes
O conjunto formado por todos os subconjuntos de A chama-se conjunto das partes de A e é escrito P(A). Para A = {1, 2}, os subconjuntos são ∅, {1}, {2} e {1, 2}, e assim P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. O número de elementos de P(A) é 2n, o mesmo número de subconjuntos de A: n(P(A)) = 2n(A).
Aqui mora uma mudança de ponto de vista. Os elementos de P(A) não são os elementos de A: são os subconjuntos de A, ou seja, conjuntos. Por isso, as regras de pertinência (∈) e de inclusão (⊂) precisam ser aplicadas com atenção redobrada. Tome A = {a, b} e P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
| Afirmação | Valor | Justificativa |
|---|---|---|
| a ∈ P(A) | Falsa | a é elemento de A, mas P(A) só tem conjuntos como elementos |
| {a} ∈ P(A) | Verdadeira | {a} é um subconjunto de A e está listado |
| {a} ⊂ P(A) | Falsa | para {a} estar contido em P(A), o elemento a teria de estar em P(A) |
| {{a}} ⊂ P(A) | Verdadeira | o único elemento de {{a}} é {a}, e {a} ∈ P(A) |
| ∅ ∈ P(A) | Verdadeira | o vazio é subconjunto de A |
| ∅ ⊂ P(A) | Verdadeira | o vazio está contido em qualquer conjunto |
| A ∈ P(A) | Verdadeira | todo conjunto é subconjunto de si mesmo |
| A ⊂ P(A) | Falsa | os elementos de A (a e b) não estão em P(A) |
A tabela resume a regra de ouro: um subconjunto de A é elemento de P(A) (usa-se ∈), enquanto um elemento de A não é elemento de P(A). Para transformar um elemento x de A em algo que pertence a P(A), é preciso colocá-lo entre chaves: x ∉ P(A), mas {x} ∈ P(A). O vazio é caso especial: pertence a P(A) e também está contido em P(A), pelos motivos já estudados.
Elementos obrigatórios e proibidos
Muitas questões fixam a presença ou a ausência de certos elementos. O raciocínio “entra ou não entra” resolve todas elas: um elemento obrigatório ou proibido deixa de ter duas escolhas e passa a ter uma só, e apenas os elementos restantes continuam livres.
Considere B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com n = 6. Quantos subconjuntos de B contêm o número 1? O elemento 1 está decidido (entra). Restam 5 elementos livres, com 2 escolhas cada: 25 = 32. Quantos não contêm o número 6? O 6 está decidido (não entra), e restam 5 livres: também 32. Quantos contêm 1 e 2 ao mesmo tempo? Dois elementos decididos, quatro livres: 24 = 16. Quantos contêm o 1 mas não o 2? Também dois decididos e quatro livres: 16.
Um caso comum é o do “pelo menos um” em um grupo de elementos. Quantos subconjuntos de A = {1, 2, …, 10} têm pelo menos um número ímpar? Contar direto é trabalhoso. É melhor contar o contrário: os subconjuntos sem nenhum ímpar usam só os números pares (2, 4, 6, 8, 10), que são 5, e há 25 = 32 deles. O total é 210 = 1.024, e a resposta é 1.024 − 32 = 992.
A pergunta “quantos subconjuntos têm exatamente k elementos” (por exemplo, exatamente dois) não se resolve com 2n. Ela pede combinações, assunto de análise combinatória, estudado mais adiante no curso. Aqui, vale apenas uma ponte: se você somar as quantidades de subconjuntos de cada tamanho, como na tabela do início (1 + 3 + 3 + 1), o resultado é sempre 2n.
🧭 Revisão
O que você precisa lembrar
- Um conjunto com n elementos distintos tem 2n subconjuntos: cada elemento entra ou não entra.
- O vazio e o próprio conjunto estão sempre entre os subconjuntos; por isso, “próprios” ou “não vazios” retiram 1 (2n − 1), e os dois juntos retiram 2 (2n − 2).
- Elementos repetidos não contam: conte só os distintos antes de usar a fórmula.
- O conjunto das partes P(A) reúne todos os subconjuntos de A e tem 2n elementos; seus elementos são conjuntos, então {a} ∈ P(A), mas a ∉ P(A).
- Cada elemento fixado (obrigatório ou proibido) reduz o expoente em 1: 2n − k.
- Para “pelo menos um”, conte o total e subtraia os que não têm nenhum.
- Quantidade de subconjuntos com um tamanho exato (por exemplo, dois elementos) pede combinações, e não 2n.
✍️ Exercícios de revisão
Nível 1 · Recordar
Escreva a fórmula do número de subconjuntos de um conjunto com n elementos e liste todos os subconjuntos de {x, y}.
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O número de subconjuntos é 2n. Para {x, y}, n = 2 e 22 = 4: ∅, {x}, {y} e {x, y}.
Defina conjunto das partes de A e diga quantos elementos ele tem quando A tem n elementos.
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O conjunto das partes de A, escrito P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A, inclusive o vazio e o próprio A. Se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos.
Complete a sequência do número de subconjuntos para conjuntos de 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 elementos.
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1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64. Cada valor é o dobro do anterior, porque acrescentar um elemento duplica a quantidade de subconjuntos.
Para um conjunto de n elementos, dê as fórmulas do número de subconjuntos (a) próprios; (b) não vazios; (c) próprios e não vazios.
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(a) 2n − 1, porque sai o próprio conjunto. (b) 2n − 1, porque sai o vazio. (c) 2n − 2, porque saem os dois.
Nível 2 · Compreender
Explique com suas palavras por que o número de subconjuntos de um conjunto de quatro elementos é 2 × 2 × 2 × 2 e a que corresponde cada fator 2.
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Para formar um subconjunto, decide-se, elemento por elemento, se ele entra ou não. Cada elemento tem duas escolhas, e as escolhas dos elementos são independentes. Com quatro elementos, há 2 × 2 × 2 × 2 = 16 combinações de escolhas, e cada combinação corresponde a um subconjunto diferente. Cada fator 2 é o par “entra / não entra” de um dos quatro elementos.
Sendo A = {a, b} e P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}, explique por que a ∉ P(A), mas {a} ∈ P(A), e por que ∅ ∈ P(A) e ∅ ⊂ P(A) são ambas verdadeiras.
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Os elementos de P(A) são subconjuntos de A. O símbolo a representa um elemento de A, e não um subconjunto, e por isso a não está listado em P(A). Já {a} é um subconjunto de A e está na lista. O vazio é subconjunto de A, logo é elemento de P(A) (∅ ∈ P(A)); e é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de P(A) (∅ ⊂ P(A)).
Um aluno afirma que o conjunto das letras da palavra CONCURSO tem 28 = 256 subconjuntos, pois a palavra tem oito letras. Explique o erro e dê o valor correto.
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Em um conjunto, elementos repetidos contam uma vez só. As letras de CONCURSO são C, O, N, C, U, R, S, O; as letras C e O aparecem duas vezes, e o conjunto é {C, O, N, U, R, S}, com 6 elementos. O número de subconjuntos é 26 = 64.
Explique por que, em um conjunto de n elementos, a quantidade de subconjuntos que contêm um elemento específico é a metade da quantidade total. Confirme com A = {a, b, c}.
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Se um elemento é obrigatório, ele deixa de ter duas escolhas; restam n − 1 elementos livres, e o número de subconjuntos é 2n − 1, que é a metade de 2n. Em A = {a, b, c}, os subconjuntos que contêm a são {a}, {a, b}, {a, c} e {a, b, c}: 4, que é a metade de 8.
Nível 3 · Aplicar
Uma repartição precisa dividir 12 processos em grupos de mesmo tamanho, sem sobra. Os tamanhos de grupo possíveis formam o conjunto A dos divisores positivos de 12, e a chefia vai decidir quais desses tamanhos autorizar. Escreva A por enumeração e calcule quantas decisões são possíveis (a) sem restrição, inclusive não autorizar nenhum tamanho; (b) sem autorizar todos os tamanhos (subconjuntos próprios); (c) autorizando pelo menos um tamanho (não vazios); (d) autorizando pelo menos um tamanho, mas não todos (próprios e não vazios).
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Os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, com n = 6. Cada decisão da chefia é um subconjunto de A.
(a) 26 = 64. (b) 64 − 1 = 63, retirando a decisão de autorizar todos (o próprio A). (c) 64 − 1 = 63, retirando a decisão de não autorizar nenhum (o vazio). (d) 64 − 2 = 62, retirando as duas.
Uma agência passou a oferecer seis serviços opcionais, entre eles o seguro e o cartão adicional. Quantos pacotes diferentes um cliente pode montar (a) sem restrição, inclusive não contratar nada; (b) contratando pelo menos um serviço; (c) incluindo obrigatoriamente o seguro; (d) incluindo obrigatoriamente o seguro e o cartão adicional?
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Cada pacote é um subconjunto dos seis serviços (n = 6). (a) 26 = 64. (b) 64 − 1 = 63, retirando o pacote vazio. (c) O seguro está decidido e restam 5 serviços livres: 25 = 32. (d) Dois serviços decididos e 4 livres: 24 = 16. Nos itens (c) e (d), não se subtrai o vazio, porque todo pacote já contém o seguro.
O sistema de uma agência gera um relatório para cada combinação de filtros que o analista pode ligar, inclusive a combinação sem nenhum filtro. Determine quantos filtros o sistema tem se ele gera (a) 128 relatórios; (b) 15 relatórios quando se exclui apenas a combinação com todos os filtros ligados (subconjuntos próprios); (c) 62 relatórios quando se excluem a combinação sem filtro e a combinação com todos os filtros (próprios e não vazios).
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Cada combinação de filtros é um subconjunto do conjunto de n filtros. (a) 2n = 128 e, pela tabela, 27 = 128; logo, n = 7 filtros. (b) 2n − 1 = 15 dá 2n = 16 = 24; logo, n = 4. (c) 2n − 2 = 62 dá 2n = 64 = 26; logo, n = 6.
Uma repartição tem sete guichês, numerados de 1 a 7, e a cada dia decide quais ficam abertos, podendo ser qualquer grupo, inclusive nenhum. Seja G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantas escolhas de guichês abertos (a) incluem os guichês 1 e 2; (b) deixam o guichê 7 fechado; (c) abrem o guichê 1 e deixam fechados os guichês 2 e 3?
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Cada escolha é um subconjunto de G (n = 7). Em cada item, alguns guichês ficam decididos e os demais são livres. (a) 1 e 2 entram; restam 5 livres: 25 = 32. (b) O 7 não entra; restam 6 livres: 26 = 64. (c) O 1 entra e o 2 e o 3 não entram: são três decididos e 4 livres, 24 = 16. Repare que o item (b) inclui a escolha de não abrir guichê algum, porque a restrição é de ausência.
Uma repartição tem 9 servidores, entre eles o chefe e o substituto, e quer formar comissões de qualquer tamanho. Quantas comissões diferentes são possíveis (a) se a comissão tiver pelo menos um servidor; (b) se o chefe e o substituto tiverem de participar; (c) se um dos 9 servidores estiver de férias e a comissão tiver pelo menos um servidor?
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(a) 29 − 1 = 512 − 1 = 511. (b) Dois servidores obrigatórios, 7 livres: 27 = 128 (o vazio já está fora, porque o chefe e o substituto estão em todas as comissões). (c) O servidor de férias está proibido; restam 8 livres, e é preciso retirar o vazio: 28 − 1 = 255.
No arquivo de uma repartição, a caixa A guarda o ofício 1 solto, uma pasta só com o ofício 2 e uma pasta com os ofícios 1 e 2, o que se escreve A = {1, {2}, {1, 2}}. (a) Quantos elementos tem A e quantos subconjuntos? (b) Classifique como verdadeira ou falsa cada afirmação: {2} ∈ A; {2} ⊂ A; {{2}} ⊂ A; 2 ∈ A.
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(a) Os elementos de A são 1, {2} e {1, 2}: três elementos, e 23 = 8 subconjuntos. (b) {2} ∈ A: verdadeira, pois {2} está listado. {2} ⊂ A: falsa, porque o elemento 2 não está em A. {{2}} ⊂ A: verdadeira, pois o único elemento de {{2}} é {2}, que está em A. 2 ∈ A: falsa, pois 2 só aparece dentro de outros conjuntos, e não como elemento de A. Na linguagem da caixa: o ofício 2 nunca está solto, só dentro de pastas.
Nível 4 · Analisar
A carteira de uma agência tem nove produtos opcionais: quatro de investimento e cinco de seguro. Um cliente pode contratar qualquer grupo deles, inclusive nenhum. Determine quantos pacotes (a) não têm nenhum produto de investimento; (b) têm pelo menos um produto de investimento; (c) têm pelo menos um produto de cada tipo. Explique por que é mais prático calcular o item (b) a partir do item (a) e confira o item (c) por dois caminhos.
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(a) Um pacote sem investimento é formado só com os cinco seguros: 25 = 32 (o pacote vazio está incluído, pois não tem nenhum investimento). (b) O total é 29 = 512. Ter pelo menos um investimento é o contrário de não ter nenhum, logo 512 − 32 = 480.
Calcular (b) diretamente exigiria somar vários casos (um investimento, dois investimentos e assim por diante). Pelo complementar, basta uma subtração.
(c) Primeiro caminho: escolha os investimentos e os seguros separadamente. Há 24 − 1 = 15 grupos não vazios de investimentos e 25 − 1 = 31 grupos não vazios de seguros, e cada par forma um pacote: 15 × 31 = 465. Segundo caminho: do total 512, retire os 32 pacotes sem investimento e os 24 = 16 sem seguro; o pacote vazio, que não tem investimento nem seguro, foi retirado duas vezes e precisa voltar uma vez:512 − 32 − 16 + 1 = 465.
Um analista afirma que uma carteira com três produtos opcionais admite 3 × 2 = 6 combinações de contratação, inclusive nenhuma. Mostre, listando, que o resultado está errado, identifique o erro de raciocínio e dê o valor correto.
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Chamando os produtos de a, b e c, as combinações são: nenhum, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}, num total de 8, e não 6. O erro foi multiplicar o número de elementos por 2 (3 × 2). Cada um dos três produtos tem duas escolhas, e as escolhas se multiplicam entre si: 2 × 2 × 2 = 23 = 8. O erro surge ao confundir “n vezes 2” com “n fatores iguais a 2”.
Uma agência oferece dois serviços opcionais, a e b, e cada pacote que um cliente pode contratar é um subconjunto de A = {a, b}. Para uma campanha, o gerente vai escolher quais pacotes divulgar na vitrine, podendo escolher qualquer grupo de pacotes, inclusive nenhum. (a) Escreva P(A), o conjunto de todos os pacotes, e diga quantos elementos tem. (b) Calcule quantas vitrines diferentes são possíveis, isto é, n(P(P(A))). (c) Justifique que o resultado do item (b) não é 22.
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(a) P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}, com 4 elementos (4 pacotes, contando o de nenhum serviço). (b) Cada vitrine é um subconjunto de P(A). Agora P(A) é o conjunto original, com n = 4 elementos (que são conjuntos). O número de seus subconjuntos é 24 = 16. (c) O número 22 = 4 seria a conta para o conjunto A, que tem 2 elementos: ele conta os pacotes, e não as vitrines. A fórmula conta os subconjuntos do conjunto dado, e o conjunto dado, no item (b), é P(A), que tem 4 elementos, e não A.
Você concluiu o estudo sobre o número de subconjuntos e fechou a aula de Teoria dos Conjuntos: agora representa conjuntos, usa ∈ e ⊂ sem trocá-los, opera conjuntos, resolve problemas de Venn e conta subconjuntos. Na próxima aula, avançaremos para os conjuntos numéricos, onde veremos os naturais, os inteiros, os racionais, os irracionais e os reais, e como cada um deles contém ou complementa o anterior. Continue firme nos estudos!
Os casos apresentados são hipotéticos, elaborados para fins didáticos.