🎯 Objetivo e mensagem central

Este tópico depende do conceito de conjunto: você precisa saber que um conjunto é uma coleção bem definida, que pode ser escrito por enumeração, por propriedade ou por diagrama, e reconhecer o conjunto vazio. Ao final, você será capaz de escolher entre ∈ e ⊂ em qualquer afirmação, decidir se um conjunto está contido em outro e reconhecer as propriedades da inclusão, inclusive nos casos em que um elemento é, ele mesmo, um conjunto.

Por que isso importa? Porque toda afirmação sobre conjuntos que aparece em prova, em um regulamento ou em um cadastro depende dessa distinção. Dizer que “o cliente pertence ao grupo” e que “o grupo está contido na carteira” são frases de natureza diferente, e a matemática dá um símbolo próprio para cada uma. Quem domina essa linguagem lê o enunciado sem ambiguidade; quem a confunde perde questões que não exigem nenhum cálculo.

Pertinência: elemento e conjunto

A pertinência responde a uma pergunta direta: este objeto é um dos elementos do conjunto? Se for, escreve-se x ∈ A e lê-se “x pertence a A”. Se não for, escreve-se x ∉ A e lê-se “x não pertence a A”. Há também o símbolo ∋, que apenas inverte a leitura: A ∋ x significa “A contém o elemento x”.

Considere o conjunto A = {2, 4, 6, 8}. O número 4 é um dos elementos listados, então 4 ∈ A. O número 5 não aparece, então 5 ∉ A. Repare que a pertinência olha para um objeto e para um conjunto, e nada mais. Ela não compara conjuntos entre si.

Inclusão: conjunto e conjunto

A inclusão compara dois conjuntos. Dizemos que A está contido em B, e escrevemos A ⊂ B, quando todo elemento de A também é elemento de B. Nesse caso, A é um subconjunto de B. Também se escreve B ⊃ A e lê-se “B contém A”.

A negação dá o método prático. Para provar que A ⊂ B, é preciso conferir todos os elementos de A. Para provar que A ⊄ B, basta encontrar um único elemento de A que esteja fora de B. Veja com três conjuntos: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 5, 6}.

• A ⊂ B, porque 1, 2 e 3 pertencem a B.
• B ⊄ A, porque 4 pertence a B e não pertence a A. A inclusão não vale nos dois sentidos.
• C ⊄ B, porque 6 pertence a C e não pertence a B, mesmo que 2 e 5 estejam em B.

Observe na Figura 1 como a inclusão aparece no diagrama de Venn: o conjunto A é desenhado inteiramente dentro do conjunto B. Como todo elemento de A está dentro de B, o elemento 2 pertence aos dois conjuntos. Já o elemento 5 está na parte de B que fica fora de A, e por isso 5 ∈ B e 5 ∉ A.

Duas observações de notação evitam dúvidas. Primeiro, neste curso o símbolo ⊂ admite a igualdade: A ⊂ A é verdadeiro. Alguns livros usam ⊆ para “contido ou igual” e reservam ⊂ para o caso em que os conjuntos são diferentes; quando o enunciado da prova define o símbolo, siga a definição dele. Segundo, quando A ⊂ B e A ≠ B, diz-se que A é um subconjunto próprio de B.

Propriedades da inclusão

A inclusão obedece a quatro propriedades que as bancas cobram diretamente, em geral na forma de afirmações a julgar como certas ou erradas.

A primeira costuma causar estranheza: como o conjunto vazio, que não tem elementos, pode estar contido em todos? A resposta está na negação da definição. Para que ∅ ⊄ A, seria preciso existir um elemento de ∅ fora de A. Como ∅ não tem elemento algum, esse elemento não existe, e a afirmação ∅ ⊂ A não pode ser falsa. Logo, é verdadeira.

A segunda decorre direto da definição: todo elemento de A pertence a A. Juntas, a primeira e a segunda mostram que todo conjunto não vazio tem pelo menos dois subconjuntos, o vazio e ele próprio (no caso de A = ∅, os dois coincidem). Pela definição de subconjunto próprio vista acima (contido e diferente), o vazio é subconjunto próprio de todo conjunto não vazio; dos dois, só A não é subconjunto próprio de si mesmo. O restante da contagem de subconjuntos fica para um tópico específico.

A terceira é a lógica de “cadeia”: se todo cliente com cartão platinum tem cartão, e todo cliente com cartão é cliente da agência, então todo cliente platinum é cliente da agência. A quarta liga a inclusão à igualdade: dois conjuntos são iguais quando cada um está contido no outro, isto é, quando têm exatamente os mesmos elementos. Por exemplo, A = {2} e B = {números naturais pares maiores que 1 e menores que 3} satisfazem A ⊂ B e B ⊂ A, portanto A = B.

Quando o elemento também é um conjunto

Um conjunto pode ter outros conjuntos entre seus elementos. É o caso de A = {1, 2, {3}, {1, 2}}. Os elementos de A são exatamente quatro: o número 1, o número 2, o conjunto {3} e o conjunto {1, 2}. O que está dentro das chaves externas, separado por vírgulas, é um elemento; as chaves internas fazem de {3} e de {1, 2} elementos que, por acaso, são conjuntos.

Nesse cenário, a diferença entre ∈ e ⊂ ganha todo o seu peso. Veja, para o mesmo A, como cada afirmação é julgada:

A tabela mostra que a mesma entidade, {1, 2}, pode pertencer a A e estar contida em A ao mesmo tempo, e que {3} pertence, mas não está contido. Não existe regra “∈ para chaves, ⊂ para números”: a escolha depende de duas verificações independentes. Para ∈, pergunte se o objeto é uma das peças listadas diretamente nas chaves externas. Para ⊂, pergunte se todas as peças do objeto estão listadas lá.

Os conjuntos unitário e vazio produzem armadilhas parecidas. O conjunto {2} é diferente do número 2, pois um é uma coleção com um elemento e o outro é o próprio elemento. Da mesma forma, ∅ (sem elementos), {∅} (um elemento, que é o conjunto vazio) e {0} (um elemento, que é o número zero) são três objetos distintos. Em B = {∅}, valem ∅ ∈ B e ∅ ⊂ B ao mesmo tempo, e B tem um único elemento.

Como escolher o símbolo certo

Quando uma questão apresenta várias afirmações com ∈, ∉, ⊂ e ⊄, vale adotar sempre a mesma rotina, que evita a escolha por impressão.

A tabela sintetiza a diferença, e o texto a completa: nos dois erros típicos, o símbolo foi escolhido sem olhar para o que está dos lados. Em “3 ⊂ {1, 2, 3}”, o lado esquerdo é um número, que não é conjunto, e a inclusão só relaciona conjuntos. Em “{3} ∈ {1, 2, 3}”, o lado esquerdo é um conjunto, mas ele não aparece entre os elementos listados.

Com a linguagem de pertinência e de inclusão consolidada, você já sabe dizer o que é elemento, o que é subconjunto e como os dois se relacionam. É essa base que permite, no tópico seguinte, combinar conjuntos entre si.

🧭 Revisão

✍️ Exercícios de revisão

Nível 1 · Recordar

Nível 2 · Compreender

Nível 3 · Aplicar

Nível 4 · Analisar

Você concluiu o estudo sobre as relações entre conjuntos. No próximo tópico, avançaremos para as operações com conjuntos, onde veremos a união, a interseção, a diferença e o complemento, e a região do diagrama de Venn que corresponde a cada uma. Continue firme nos estudos!

Os casos apresentados são hipotéticos, elaborados para fins didáticos.