🎯 Objetivo e mensagem central

Neste tópico, você vai aprender a montar a tabela-verdade de uma proposição composta com vários conectivos, a calcular o valor lógico dela em etapas e a resolver o que as provas pedem quando os valores das proposições simples já vêm dados. Para isso, você vai usar o que já estudamos: a regra de verdade de cada conectivo (¬, ∧, ∨, ⊻, →, ↔) e a diferença entre proposição simples e composta.

Para quê? Porque a tabela-verdade é o método que não falha. Quando um atalho foge da memória ou uma alternativa parece estranha, montar a tabela dá a resposta certa, e ela serve de base para tudo o que vem adiante no curso: classificar proposições, provar equivalências e testar argumentos. Quem aprende a montá-la com método erra menos e ganha segurança, inclusive nas questões em que a tabela completa nem precisa ser feita.

🔢 Quantas linhas tem a tabela

Tabela-verdade é o quadro que reúne todas as combinações possíveis de valores lógicos (V ou F) das proposições simples de uma fórmula e mostra, para cada combinação, o valor lógico da proposição composta. Cada combinação ocupa uma linha, e nenhuma pode ficar de fora.

Observe na Figura 1 como o número de linhas dobra a cada proposição acrescentada. Com apenas p, há dois ramos (V e F). Quando q entra, cada um desses ramos se divide de novo em V e F, e as linhas passam a quatro. Com r, passam a oito.

O quadro mostra por que, em prova, as tabelas completas quase nunca passam de três proposições: com quatro já são 16 linhas, e com cinco, 32. A partir daí, o caminho prático é o raciocínio por valores (seção “Calculando com valores dados”), em vez da tabela inteira.

🧩 Montando a tabela em etapas

Uma composta com vários conectivos não é calculada de uma só vez. O caminho seguro é criar uma coluna para cada parte intermediária e avançar de dentro para fora, até chegar ao conectivo principal, que é o último a ser calculado e dá o valor da fórmula inteira.

Como preencher as colunas das simples

Para não esquecer nenhuma combinação, siga sempre o mesmo padrão. A primeira coluna tem metade das linhas com V e depois metade com F; cada coluna seguinte alterna em blocos que são a metade do bloco anterior; a última alterna V e F a cada linha. Com três proposições, as colunas ficam assim: p em blocos de quatro (VVVV, FFFF), q em blocos de dois (VV, FF, VV, FF) e r em blocos de um (V, F, V, F, V, F, V, F). Você verá esse padrão nas tabelas deste tópico.

Exemplo com duas proposições: ¬p ∨ q

Aqui n = 2, e a tabela tem 4 linhas. O conectivo principal é a disjunção; a negação de p é a parte interna e ganha uma coluna auxiliar.

Na terceira coluna, a negação apenas inverte a coluna de p. Na última, a disjunção só é falsa quando as duas partes são falsas: isso acontece só na segunda linha, em que ¬p é F e q é F. A fórmula é verdadeira nas outras três. (Mais adiante, no estudo das equivalências, você vai ver que essa última coluna tem um parentesco importante com a da condicional.)

Exemplo com três proposições: (p ∧ q) → r

Agora n = 3 e a tabela tem 8 linhas. O conectivo principal é a condicional, e a parte interna é a conjunção p ∧ q, que ganha uma coluna auxiliar.

A condicional é falsa apenas quando o antecedente é V e o consequente é F. O antecedente (p ∧ q) só é V na primeira e na segunda linhas, e só na segunda o consequente r é F. Resultado: uma única linha falsa e sete verdadeiras. Nas demais linhas, o antecedente é falso, e a condicional é verdadeira, como estudamos na regra da condicional.

🧮 Parênteses e ordem de precedência

Quando uma fórmula tem mais de um conectivo, é preciso saber qual deles se calcula primeiro. Há duas ferramentas para isso: os parênteses e a ordem de precedência.

Parênteses, colchetes e chaves

O que está entre parênteses é calculado antes do que está fora deles. Quando há parênteses dentro de parênteses, usam-se também colchetes e chaves, e o cálculo começa pelo grupo mais interno e avança para fora. Em { [ (p ∧ q) ∨ r ] → s }, a ordem é: primeiro p ∧ q; depois a disjunção com r; por fim, a condicional com s.

Ordem de precedência

Na ausência de parênteses, vale uma convenção comum nos livros de lógica, em que cada conectivo “prende” suas proposições com mais força que os seguintes da lista.

Leia a tabela de cima para baixo: a negação age primeiro, só sobre a proposição que vem logo depois dela (a menos que haja parênteses); depois vêm a conjunção, a disjunção, a condicional e, por último, a bicondicional. A coluna “Lido como” mostra a mesma fórmula com os parênteses que a convenção sugere. Essa é a ordem mais difundida e a adotada neste curso, mas nem todos os autores a seguem à risca; por isso, os parênteses explícitos sempre prevalecem sobre ela.

Para ver o efeito dos parênteses, compare duas fórmulas que usam as mesmas letras e os mesmos conectivos, mas agrupam de modo diferente: p ∨ (q ∧ r), que é a leitura de p ∨ q ∧ r pela precedência, e (p ∨ q) ∧ r.

Compare a quinta e a sétima colunas: elas diferem em duas linhas, a segunda (V, V, F) e a quarta (V, F, F), ambas com p verdadeira e r falsa. Em p ∨ (q ∧ r), basta p ser V para a fórmula ser V; em (p ∨ q) ∧ r, é preciso também que r seja V. Dois agrupamentos, duas tabelas diferentes: os parênteses mudam o valor lógico da proposição.

🧪 Calculando com valores dados

Muitas questões não pedem a tabela inteira. Elas informam o valor lógico de cada proposição simples e pedem o valor de uma composta. Aqui, existe uma só linha da tabela em jogo, e o trabalho é substituir e calcular, sempre de dentro para fora.

Exemplo: com V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F, calcule (p ∨ q) ∧ ¬r. Substituindo: (V ∨ F) ∧ ¬F. Resolvendo o parêntese, V ∨ F = V; resolvendo a negação, ¬F = V. Sobra V ∧ V, que é V. A composta é verdadeira.

Outro exemplo, agora com a precedência: p ∧ q → r, com os mesmos valores. Sem parênteses, a conjunção vem antes da condicional: (p ∧ q) → r. Então, (V ∧ F) → F = F → F = V. O antecedente é falso, e a condicional é verdadeira.

Com quatro ou mais proposições simples, a tabela completa fica longa, e o cálculo por valores é o caminho mais rápido. Em (p ∧ q) ∨ (r → s), por exemplo, há 16 combinações. Para saber o valor em uma situação específica, basta uma delas.

↩️ O caminho inverso: da composta para as simples

As provas também invertem a pergunta: informam que uma composta é verdadeira ou falsa e pedem os valores das simples. Nem sempre isso é possível, porque diferentes combinações podem dar o mesmo resultado. A tabela mostra os casos em que um único valor da composta já determina tudo.

As três primeiras linhas são as “boas”: cada uma corresponde a uma única linha da tabela do conectivo (a única verdadeira da conjunção, a única falsa da disjunção, a única falsa da condicional). Nas três últimas, mais de uma linha serve, e é preciso outra informação para decidir. Esse é o ponto de partida do método: procure primeiro a informação que fecha os valores e propague o que ela determina para as demais.

Exemplo: sabe-se que “p ∨ q” é falsa e que “r → p” é verdadeira. Como p ∨ q é falsa, p é F e q é F. Em r → p, o consequente p é F; para a condicional ser verdadeira com consequente falso, o antecedente r precisa ser F. Logo, p, q e r são todas falsas. Conferindo as oito combinações possíveis, essa é a única que satisfaz as duas informações.

🧭 Revisão

✍️ Exercícios de revisão

Nível 1 · Recordar

Nível 2 · Compreender

Nível 3 · Aplicar

Nível 4 · Analisar

Você concluiu o estudo sobre as tabelas-verdade. No próximo tópico, avançaremos para a classificação de proposições compostas, onde veremos como a última coluna da tabela revela se a proposição é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência, e quais atalhos permitem decidir sem montar a tabela inteira. Continue firme nos estudos!

Os casos apresentados são hipotéticos, elaborados para fins didáticos.