Operações com Conjuntos
Bem-vindo ao Leão Educação. Preparamos esta aula para guiar você, passo a passo, no aprendizado de operações com conjuntos: união, interseção, diferença e complemento. Ao longo desta aula, vamos construir juntos uma base sólida em matemática básica, com teoria, exemplos práticos e exercícios aplicados à rotina de quem presta concursos, em especial os bancários, e ao dia a dia de quem trabalha em agências e repartições ou lida com cadastros e documentos.
🎯 Objetivo e mensagem central
Este tópico depende das relações entre conjuntos: você precisa distinguir pertinência de inclusão, saber o que é subconjunto e reconhecer o conjunto vazio. Ao final, você será capaz de calcular a união, a interseção, a diferença e o complemento de conjuntos dados por enumeração, de associar cada operação à região correspondente do diagrama de Venn e de aplicar as propriedades e as leis de De Morgan para simplificar expressões.
Para que serve isso? Toda vez que alguém pergunta “quem tem A ou B?”, “quem tem A e B?” ou “quem tem A mas não B?”, está pedindo uma operação entre conjuntos. Cadastros de clientes, listas de inscritos e filtros de planilha funcionam assim. Nas provas, as bancas costumam trocar uma operação por outra no meio da expressão, e quem enxerga a região do diagrama percebe a troca sem fazer conta alguma.
Em todo o tópico, usaremos o mesmo cenário numérico para você comparar as operações lado a lado. O universo é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e os conjuntos são A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. Repare que 4, 5 e 6 estão nos dois conjuntos, e que 9 e 10 não estão em nenhum.
União: juntar
A união de A com B, escrita A ∪ B e lida “A união B”, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos, A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
O “ou” da matemática é inclusivo: vale quando o elemento está em A, quando está em B e também quando está nos dois. No cenário do tópico, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Os elementos 4, 5 e 6 aparecem nos dois conjuntos, mas entram uma única vez na união, porque um conjunto não repete elementos. Quem ficou de fora? Apenas 9 e 10.
Um detalhe que o próximo tópico desenvolve: a lista P tem 3 clientes, a lista S tem 2, e a união tem 4, e não 5. A diferença é exatamente o cliente que estava nas duas listas. Contar sem repetir é o assunto dos problemas com diagramas de Venn.
Interseção: o que é comum
A interseção de A com B, escrita A ∩ B e lida “A inter B”, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo. Em símbolos, A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
No cenário do tópico, A ∩ B = {4, 5, 6}: são os únicos números presentes nos dois conjuntos. Se A ⊂ B, todo elemento de A já está em B, e por isso A ∩ B = A.
Quando dois conjuntos não têm nenhum elemento em comum, a interseção é o conjunto vazio: A ∩ B = ∅. Dizemos então que A e B são conjuntos disjuntos. Os conjuntos {1, 2, 3} e {7, 8} são disjuntos, e o mesmo vale para o conjunto dos números pares e o dos números ímpares.
Diferença: retirar
A diferença A − B, lida “A menos B”, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Em símbolos, A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}. Pense em pegar A e retirar dele tudo o que também está em B.
No cenário do tópico, A − B = {1, 2, 3}: dos seis elementos de A, saem 4, 5 e 6, que também estão em B. Já B − A = {7, 8}: dos cinco elementos de B, saem 4, 5 e 6, que também estão em A. Os dois resultados são diferentes, o que mostra que a diferença não é comutativa.
A diferença se relaciona com o complemento, que veremos a seguir: tirar B de A equivale a ficar com o que é de A e está fora de B. Ou seja, A − B = A ∩ Bc, em que Bc é o complementar de B. Conferindo no cenário do tópico: A ∩ Bc = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {1, 2, 3, 9, 10} = {1, 2, 3}, o mesmo resultado de A − B.
Complemento: o que falta para o universo
O complementar de A, escrito Ac (outros livros usam Ā ou ∁A), é o conjunto dos elementos do universo U que não pertencem a A. Em símbolos, Ac = {x ∈ U | x ∉ A} = U − A.
O universo é o conjunto de todos os elementos que estão em discussão no problema. Ele não vem escrito no símbolo, e por isso o enunciado precisa informá-lo. No cenário do tópico, com U = {1, 2, …, 10}, o complementar de A é Ac = {7, 8, 9, 10}, e o de B é Bc = {1, 2, 3, 9, 10}.
Veja por que o universo importa. Se A = {1, 2, 3} e o universo for {1, 2, 3, 4, 5}, então Ac = {4, 5}. Se o universo for {1, 2, …, 8}, o mesmo conjunto A tem complementar {4, 5, 6, 7, 8}. O conjunto não mudou, mas o complementar mudou, porque o universo mudou. Num cadastro, o universo é a carteira de clientes; numa lista de inscritos, é o conjunto de todos os inscritos.
As quatro operações no diagrama
Cada operação corresponde a uma região do diagrama de Venn, no qual o retângulo representa o universo U e os círculos representam os conjuntos. Observe na Figura 1 as quatro regiões sombreadas: a união cobre os dois círculos inteiros, a interseção cobre só a parte em que eles se sobrepõem, a diferença A − B cobre o círculo de A menos a parte compartilhada, e o complemento de A cobre tudo o que está no retângulo e fora do círculo de A.
A tabela a seguir reúne, para o cenário do tópico, o símbolo, a pergunta que cada operação responde e o resultado.
| Operação | Pergunta | Resultado |
|---|---|---|
| A ∪ B | Está em A ou em B? | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} |
| A ∩ B | Está em A e em B? | {4, 5, 6} |
| A − B | Está em A e não está em B? | {1, 2, 3} |
| B − A | Está em B e não está em A? | {7, 8} |
| Ac | Está em U e não está em A? | {7, 8, 9, 10} |
| (A ∪ B)c | Não está em A nem em B? | {9, 10} |
A tabela organiza, e o texto interpreta: a última linha mostra que “nem A nem B” é o complemento da união, isto é, o que sobra do universo depois de juntar os dois conjuntos. Esse “nem um nem outro” aparece o tempo todo em problemas de cadastro, como “clientes sem poupança e sem seguro”.
Propriedades e leis de De Morgan
As operações obedecem a propriedades que permitem simplificar expressões sem listar elementos. A maioria pode ser conferida diretamente no diagrama.
| Propriedade | União | Interseção |
|---|---|---|
| Idempotência | A ∪ A = A | A ∩ A = A |
| Comutativa | A ∪ B = B ∪ A | A ∩ B = B ∩ A |
| Associativa | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) | (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
| Elemento neutro | A ∪ ∅ = A | A ∩ U = A |
| Elemento absorvente | A ∪ U = U | A ∩ ∅ = ∅ |
| Complemento | A ∪ Ac = U | A ∩ Ac = ∅ |
| Distributiva | A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
A tabela mostra uma simetria: trocando ∪ por ∩ (e ∅ por U), cada propriedade da coluna da esquerda se transforma na da direita. A diferença fica de fora da lista de propósito, porque ela não é comutativa nem associativa. Vale ainda a dupla complementação, (Ac)c = A, além de ∅c = U e Uc = ∅.
A distributiva merece uma conferência numérica. Com A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8} e C = {2, 4, 6, 8, 10}, temos B ∪ C = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}, e então A ∩ (B ∪ C) = {2, 4, 5, 6}. Pelo outro lado, A ∩ B = {4, 5, 6} e A ∩ C = {2, 4, 6}, cuja união é {2, 4, 5, 6}. Os dois caminhos chegam ao mesmo conjunto.
Leis de De Morgan
As leis de De Morgan ensinam a “passar o complemento para dentro dos parênteses”. Ao fazer isso, a união vira interseção e a interseção vira união.
Confira no cenário do tópico. Como A ∪ B = {1, …, 8}, o complemento (A ∪ B)c é {9, 10}. Pelo outro lado, Ac ∩ Bc = {7, 8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3, 9, 10} = {9, 10}. A primeira lei se confirma. Para a segunda, A ∩ B = {4, 5, 6} tem complemento {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}, e Ac ∪ Bc = {7, 8, 9, 10} ∪ {1, 2, 3, 9, 10} = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. Os resultados coincidem.
Quando A ⊂ B, cada operação se reduz a um dos dois conjuntos ou ao vazio. Tomando A = {2, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos A ∪ B = B, A ∩ B = A e A − B = ∅, enquanto B − A = {1, 3, 5}. Reconhecer a inclusão logo no início poupa trabalho.
Como resolver uma questão de operações
As questões de prova aparecem de duas formas: com os conjuntos listados, em que basta calcular, ou descritos por palavras, em que é preciso traduzir antes. Nos dois casos, o método é o mesmo.
Veja o método aplicado a uma situação de cadastro. Uma agência tem 10 clientes, c1 a c10, que formam o universo. Os clientes com poupança são P = {c1, c2, c3, c4, c5}, e os clientes com cartão de crédito são Q = {c3, c4, c5, c6, c7}. Queremos os clientes que têm poupança mas não cartão, e depois os que não têm nenhum dos dois.
- “Poupança mas não cartão” é a diferença P − Q. Retirando de P os clientes c3, c4 e c5, que também estão em Q, restam {c1, c2}.
- “Nenhum dos dois” é o complemento da união. Primeiro, P ∪ Q = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7}. O complemento dessa união é {c8, c9, c10}.
Um caso especial é o dos que foram atendidos em exatamente um dos meses: atendidos em algum, mas não nos dois. A conta é (J ∪ F) − (J ∩ F) = {1, 2, 3, 5, 6, 7} − {2, 3} = {1, 5, 6, 7}. O mesmo resultado sai de (J − F) ∪ (F − J) = {1, 5} ∪ {6, 7}. Alguns livros dão a esse conjunto o nome de diferença simétrica, escrita J Δ F. O que importa para a prova é saber montá-lo por qualquer um dos dois caminhos.
🧭 Revisão
O que você precisa lembrar
- A ∪ B reúne o que está em A ou em B (o “ou” inclui quem está nos dois); A ∩ B guarda só o que está nos dois; se A ∩ B = ∅, os conjuntos são disjuntos.
- A − B é o que é de A e não é de B, e em geral A − B ≠ B − A; vale A − B = A ∩ Bc.
- O complemento Ac = U − A só existe em relação a um universo, e A ∪ Ac = U, A ∩ Ac = ∅.
- Se A ⊂ B, então A ∪ B = B, A ∩ B = A e A − B = ∅.
- União e interseção são comutativas, associativas e distributivas uma sobre a outra; a diferença não é comutativa.
- De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc e (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc; o complemento troca a operação.
- “Nem A nem B” é (A ∪ B)c; “A ou B, mas não ambos” é (A ∪ B) − (A ∩ B).
✍️ Exercícios de revisão
Nível 1 · Recordar
Escreva o símbolo e a definição, em palavras, da união, da interseção, da diferença e do complemento de conjuntos.
Ver resposta comentada
União (A ∪ B): elementos que estão em A ou em B. Interseção (A ∩ B): elementos que estão em A e em B. Diferença (A − B): elementos que estão em A e não estão em B. Complemento (Ac): elementos do universo que não estão em A.
O que são conjuntos disjuntos? Que resultado tem a interseção deles?
Ver resposta comentada
Conjuntos disjuntos são os que não têm nenhum elemento em comum. A interseção deles é o conjunto vazio: A ∩ B = ∅.
Enuncie as duas leis de De Morgan para conjuntos.
Ver resposta comentada
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc: o complemento da união é a interseção dos complementos. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc: o complemento da interseção é a união dos complementos.
O que é preciso saber, além do próprio conjunto A, para calcular o complementar de A?
Ver resposta comentada
É preciso conhecer o universo U, porque o complementar de A é o conjunto dos elementos de U que não estão em A: Ac = U − A. Sem o universo, o complemento não está definido.
Nível 2 · Compreender
Explique por que o “ou” da união é inclusivo e o que isso significa para um elemento que está em A e em B ao mesmo tempo.
Ver resposta comentada
Na união, basta o elemento estar em pelo menos um dos conjuntos, e isso inclui estar nos dois. Por isso, o elemento que pertence a A e a B pertence também a A ∪ B. Ele aparece uma única vez, pois o conjunto não repete elementos. Exemplo: com A = {1, 2} e B = {2, 3}, o elemento 2 está nos dois, e A ∪ B = {1, 2, 3}.
Explique por que A − B e B − A em geral são diferentes e diga em que caso são iguais.
Ver resposta comentada
A − B contém elementos de A, e B − A contém elementos de B; os elementos retirados são outros em cada caso. Com A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, A − B = {1} e B − A = {4}. As duas diferenças só são iguais quando ambas são vazias, o que ocorre quando A = B. Se tivessem um elemento, ele estaria em A e fora de B, e ao mesmo tempo em B e fora de A, o que é impossível.
Seja A ⊂ B. Explique o que valem A ∪ B, A ∩ B e A − B, usando A = {2, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5} como exemplo.
Ver resposta comentada
Se todo elemento de A está em B, juntar A a B não acrescenta nada: A ∪ B = B = {1, 2, 3, 4, 5}. O que é comum aos dois é o próprio A: A ∩ B = {2, 4}. E, ao retirar de A o que está em B, não sobra nada: A − B = ∅.
Seja A = {1, 2, 3}. Calcule Ac para U₁ = {1, 2, 3, 4, 5} e para U₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, e explique por que os resultados são diferentes.
Ver resposta comentada
Com U₁, Ac = {4, 5}. Com U₂, Ac = {4, 5, 6, 7, 8}. O conjunto A é o mesmo, mas o complemento é “o que falta para o universo”, e o universo mudou. Por isso o enunciado precisa dizer qual é o universo.
Nível 3 · Aplicar
No sistema de uma agência, os serviços têm códigos de 1 a 10, que formam o universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Os serviços liberados no aplicativo são A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e os liberados no caixa eletrônico são B = {4, 5, 6, 7, 8}. Calcule A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, Ac e Bc, e diga o que A − B representa para o cliente.
Ver resposta comentada
A ∪ B reúne os elementos dos dois, sem repetir: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A ∩ B guarda os comuns: {4, 5, 6}. A − B retira de A os elementos 4, 5 e 6: {1, 2, 3}. B − A retira de B os mesmos 4, 5 e 6: {7, 8}.
Para os complementos, parta de U. Ac retira 1 a 6 e fica com {7, 8, 9, 10}. Bc retira 4 a 8 e fica com {1, 2, 3, 9, 10}.
Para o cliente, A − B = {1, 2, 3} são os serviços que só o aplicativo oferece: quem quiser usá-los não os encontrará no caixa eletrônico.
Numa repartição, as senhas de atendimento do dia vão de 1 a 20. Para auditoria, as senhas pares formam o conjunto A, cujos documentos serão conferidos, e as senhas múltiplas de 3 formam o conjunto B, cujas assinaturas serão conferidas. Determine A ∩ B, A − B, B − A, A ∪ B e o conjunto das senhas que não passarão por nenhuma conferência.
Ver resposta comentada
Primeiro, enumere: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} e B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}.
A ∩ B = {6, 12, 18}. A − B retira 6, 12 e 18 de A: {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20}. B − A retira os mesmos de B: {3, 9, 15}. A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}.
As senhas que não estão em A nem em B formam o complemento da união, tomando como universo todas as senhas do dia, U = {1, …, 20}: {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Uma agência tem os clientes c1 a c10. Têm poupança P = {c1, c2, c3, c4, c5}; têm cartão Q = {c3, c4, c5, c6, c7}; têm seguro S = {c5, c7, c8}. Determine: (a) quem tem poupança e cartão; (b) quem tem poupança, mas não cartão; (c) quem não tem poupança nem cartão; (d) quem tem cartão e seguro; (e) quem tem seguro, mas não tem poupança nem cartão.
Ver resposta comentada
(a) P ∩ Q = {c3, c4, c5}. (b) P − Q = {c1, c2}. (c) Primeiro, P ∪ Q = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7}; o complemento é {c8, c9, c10}. (d) Q ∩ S = {c5, c7}. (e) Usando P ∪ Q do item anterior, S − (P ∪ Q) retira de S os clientes c5 e c7 e deixa {c8}.
Numa repartição, os contribuintes são numerados de 1 a 8. Em janeiro, atenderam-se J = {1, 2, 3, 5}; em fevereiro, F = {2, 3, 6, 7}. Determine quem foi atendido (a) nos dois meses; (b) só em janeiro; (c) em pelo menos um dos meses; (d) em nenhum dos meses; (e) em exatamente um dos meses.
Ver resposta comentada
(a) J ∩ F = {2, 3}. (b) “Só em janeiro” é J − F = {1, 5}. (c) J ∪ F = {1, 2, 3, 5, 6, 7}. (d) O complemento da união é {4, 8}. (e) Atendidos em algum mês, mas não nos dois: (J ∪ F) − (J ∩ F) = {1, 5, 6, 7}. Confira por (J − F) ∪ (F − J) = {1, 5} ∪ {6, 7} = {1, 5, 6, 7}.
Na agência da questão 9, o analista quer listar os serviços que não estão liberados em nenhum dos dois canais. Com os mesmos U, A e B, calcule (A ∪ B)c e Ac ∩ Bc. Depois, faça o mesmo com (A ∩ B)c e Ac ∪ Bc. O que você observa?
Ver resposta comentada
A ∪ B = {1, …, 8}, e seu complemento é {9, 10}. Como Ac = {7, 8, 9, 10} e Bc = {1, 2, 3, 9, 10}, a interseção é {9, 10}. Os dois resultados coincidem: os serviços 9 e 10 não estão em nenhum dos canais.
A ∩ B = {4, 5, 6}, e seu complemento é {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. A união Ac ∪ Bc também é {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. Observa-se que as duas leis de De Morgan se confirmam neste exemplo.
Nível 4 · Analisar
Na agência, um colega compara duas listas de números de conta, A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, e afirma: “A − B = B − A, porque nos dois casos se retira a parte comum”. Analise a afirmação.
Ver resposta comentada
A parte comum é {2, 3}, e ela realmente sai nos dois casos. Mas o que sobra é diferente: A − B = {1} e B − A = {4}. A diferença guarda o que restou do conjunto da esquerda, e cada conjunto tem sua parte exclusiva. A afirmação é falsa, e só seria verdadeira se A = B, quando as duas diferenças são vazias.
Num relatório sobre os serviços da questão 9, um colega escreve que os serviços fora dos dois canais são dados por (A ∪ B)c = Ac ∪ Bc. Com os mesmos U, A e B, mostre que a igualdade falha e corrija-a.
Ver resposta comentada
Para o lado esquerdo: A ∪ B = {1, …, 8} e (A ∪ B)c = {9, 10}. Para o direito: Ac ∪ Bc = {7, 8, 9, 10} ∪ {1, 2, 3, 9, 10} = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. Os conjuntos são diferentes, então a igualdade é falsa. O colega esqueceu de trocar a operação: pela lei de De Morgan, o correto é (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc = {9, 10}.
Na agência da questão 11, o gerente quer os clientes que têm poupança ou cartão, mas não os dois ao mesmo tempo. Decomponha o pedido por dois caminhos diferentes e verifique se levam ao mesmo conjunto.
Ver resposta comentada
Primeiro caminho: “poupança ou cartão” é P ∪ Q = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7}; “os dois” é P ∩ Q = {c3, c4, c5}; retirando, (P ∪ Q) − (P ∩ Q) = {c1, c2, c6, c7}.
Segundo caminho: quem tem só poupança, P − Q = {c1, c2}, juntado a quem tem só cartão, Q − P = {c6, c7}, dá {c1, c2, c6, c7}. Os dois caminhos levam ao mesmo conjunto, que é a diferença simétrica de P e Q.
Para filtrar os serviços da questão 9, um analista montou a expressão (A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc). Simplifique-a usando as propriedades, confirme o resultado com os mesmos U, A e B e diga que filtro mais curto ele poderia usar.
Ver resposta comentada
Pela distributiva, (A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc) = A ∪ (B ∩ Bc). Como B ∩ Bc = ∅, resta A ∪ ∅ = A.
Conferência: A ∪ B = {1, …, 8} e A ∪ Bc = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {1, 2, 3, 9, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}. A interseção é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que é exatamente A. O filtro inteiro equivale, portanto, a pedir só os serviços liberados no aplicativo.
Você concluiu o estudo sobre as operações com conjuntos. No próximo tópico, avançaremos para os problemas com conjuntos e diagramas de Venn, onde veremos como contar elementos sem repetir ninguém, com dois e com três conjuntos. Continue firme nos estudos!
Os casos apresentados são hipotéticos, elaborados para fins didáticos.