Problemas com Conjuntos (Diagramas de Venn)
Bem-vindo ao Leão Educação. Preparamos esta aula para guiar você, passo a passo, no aprendizado de problemas com conjuntos e diagramas de Venn: a fórmula de inclusão e exclusão para dois e três conjuntos, a tradução das palavras do enunciado e os valores mínimo e máximo da interseção. Ao longo desta aula, vamos construir juntos uma base sólida em matemática básica, com teoria, exemplos práticos e exercícios aplicados à rotina de quem presta concursos, em especial os bancários, e ao dia a dia de quem trabalha em agências e repartições ou participa de pesquisas e cadastros.
🎯 Objetivo e mensagem central
Este tópico depende das operações com conjuntos: você precisa saber o que são união, interseção, diferença e complemento. O tópico anterior já antecipou a ideia central de hoje, a de não contar duas vezes quem está nos dois conjuntos. Agora vamos transformar essa ideia em fórmula e em método. Ao final, você será capaz de resolver problemas de contagem com dois e com três conjuntos, preencher o diagrama na ordem certa, traduzir expressões como “só”, “pelo menos”, “exatamente” e “nem… nem” e calcular o menor e o maior valor possível da interseção.
Para que serve isso? Pesquisas de satisfação, cadastros de clientes, listas de inscritos e levantamentos de uso de serviços trazem dados do tipo “45 pessoas fazem isto, 38 fazem aquilo, 15 fazem as duas coisas”. Quem soma esses números sem cuidado conta gente em dobro e chega a um total maior que o real. Nas provas, as questões desse tipo são frequentes, e a maior parte dos erros vem de duas causas: colocar no diagrama o número errado na região errada e ler mal uma palavra do enunciado. As duas causas têm remédio, e ele está neste tópico.
Dois conjuntos: a fórmula e o diagrama
Vamos partir de um caso concreto. Uma agência tem 80 clientes cadastrados. Desses, 45 têm poupança, 38 têm seguro e 15 têm os dois produtos. Quantos clientes têm pelo menos um dos produtos? Quantos não têm nenhum?
A primeira tentação é somar: 45 + 38 = 83. O resultado é maior que os 80 clientes da agência, e isso já mostra o erro. Os 15 clientes que têm poupança e seguro foram contados duas vezes: uma vez entre os 45 da poupança e outra entre os 38 do seguro. Para corrigir, basta descontar uma vez a interseção.
Aplicando ao caso: n(P ∪ S) = 45 + 38 − 15 = 68. Têm pelo menos um produto 68 clientes. Como o universo tem 80 clientes, não têm nenhum dos dois 80 − 68 = 12 clientes. O nome “inclusão e exclusão” vem do movimento da conta: primeiro incluem-se todos (somando os dois conjuntos) e depois excluem-se os que foram contados a mais.
A fórmula dá o total, mas as perguntas costumam pedir as partes. Para isso, divida o diagrama em quatro regiões: só A, A e B, só B e nenhum (o que está fora dos dois círculos). Observe na Figura 1 como elas se encaixam.
Repare numa propriedade da Figura 1: o círculo de A é formado por duas regiões, “só A” e “A e B”. Logo, n(A) = n(só A) + n(A ∩ B), o que dá n(só A) = n(A) − n(A ∩ B). No caso da agência, só poupança é 45 − 15 = 30 e só seguro é 38 − 15 = 23. Conferindo o universo: 30 + 15 + 23 + 12 = 80.
| Região | Como se calcula | Clientes |
|---|---|---|
| P e S | dado do enunciado | 15 |
| só P | 45 − 15 | 30 |
| só S | 38 − 15 | 23 |
| nenhum | 80 − (30 + 15 + 23) | 12 |
| total | 30 + 15 + 23 + 12 | 80 |
Observe por que a última linha funciona: as quatro regiões não se sobrepõem e juntas esgotam o universo, de modo que a soma delas precisa dar o total. Essa soma é a sua conferência final. Se ela não fecha, algum número foi para a região errada.
Pode acontecer de o enunciado dar o total da união e pedir a interseção. A fórmula resolve também esse caminho, isolando o termo desconhecido: n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B). Se um grupo de 60 servidores tem 38 usuários de um sistema X, 31 usuários de um sistema Y e 9 que não usam nenhum, a união tem 60 − 9 = 51 servidores, e a interseção é 38 + 31 − 51 = 18.
Traduzindo as palavras do enunciado
Metade do trabalho está em ler o enunciado. Expressões muito parecidas na linguagem do dia a dia apontam para regiões bem diferentes do diagrama. A tabela a seguir reúne as que mais aparecem, com o diagrama de dois conjuntos (A e B) e o de três (A, B e C).
| Expressão | Região | Operação |
|---|---|---|
| “A e B”, “ambos”, “tanto A quanto B” | a sobreposição dos dois círculos | A ∩ B |
| “A ou B”, “pelo menos um dos dois” | os dois círculos inteiros | A ∪ B |
| “só A”, “apenas A”, “somente A”, “A mas não B” | o círculo de A sem a sobreposição | A − B |
| “nem A nem B”, “nenhum dos dois” | a área fora dos círculos | (A ∪ B)c |
| “exatamente um dos dois” | só A e só B, sem a sobreposição | (A − B) ∪ (B − A) |
| “só A” com três conjuntos | o círculo de A sem tocar B nem C | A − (B ∪ C) |
| “exatamente dois” (três conjuntos) | as três regiões de dois círculos, sem o centro | soma das três “só duas” |
| “pelo menos dois” (três conjuntos) | as três regiões de dois círculos e o centro | soma das três “só duas” + centro |
A tabela mostra que a palavra decisiva costuma ser pequena: “só”, “exatamente”, “pelo menos”. Leia-a duas vezes. “Pelo menos um” aceita quem está em um, em dois ou em todos; “exatamente um” aceita apenas quem está em um e em nenhum outro.
Três conjuntos: de dentro para fora
Com três conjuntos, o diagrama passa a ter oito regiões: o centro (nos três), três regiões de interseção só de dois, três regiões de um conjunto só e a área de fora. A ordem de preenchimento deixa de ser opcional, porque os dados do enunciado quase nunca são “só”. O enunciado dá o total de cada conjunto e o total de cada interseção, e cada um desses números contém regiões de dentro. Por isso começamos pelo centro e vamos saindo.
A construção da fórmula segue o mesmo raciocínio dos dois conjuntos. Ao somar n(A) + n(B) + n(C), quem está em exatamente dois conjuntos é contado duas vezes, e quem está nos três é contado três vezes. Ao subtrair as três interseções duas a duas, quem estava em exatamente dois passa a ser contado uma vez, o que está certo. Mas quem estava nos três foi contado três vezes na soma e foi subtraído três vezes (uma em cada interseção dupla): ficou com zero contagens. Esse grupo precisa voltar, e por isso se soma n(A ∩ B ∩ C) no final.
Vamos aplicar a um caso. Uma agência tem 100 clientes. Têm poupança (P) 50 clientes, seguro (S) 40 clientes e cartão de crédito (C) 45 clientes. Têm poupança e seguro 15, poupança e cartão 20, seguro e cartão 12, e os três produtos, 6 clientes. Quantos clientes não têm nenhum dos três?
Pela fórmula: n(P ∪ S ∪ C) = 50 + 40 + 45 − 15 − 20 − 12 + 6 = 94. Logo, não têm nenhum produto 100 − 94 = 6 clientes. Mas as perguntas de prova vão além da união, e para elas é preciso preencher cada região. Siga a ordem numerada na Figura 2.
No terceiro passo, o círculo de P contém quatro regiões: só P, “P e S” sem cartão (9), “P e C” sem seguro (14) e o centro (6). Logo, só P = 50 − (9 + 14 + 6) = 21. No círculo de S: só S = 40 − (9 + 6 + 6) = 19. No círculo de C: só C = 45 − (14 + 6 + 6) = 19. Por fim, o quarto passo é a área de fora: 100 menos tudo o que já foi preenchido.
| Passo | Região | Conta | Clientes |
|---|---|---|---|
| 1 | P, S e C | dado | 6 |
| 2 | P e S, sem C | 15 − 6 | 9 |
| 2 | P e C, sem S | 20 − 6 | 14 |
| 2 | S e C, sem P | 12 − 6 | 6 |
| 3 | só P | 50 − (9 + 14 + 6) | 21 |
| 3 | só S | 40 − (9 + 6 + 6) | 19 |
| 3 | só C | 45 − (14 + 6 + 6) | 19 |
| 4 | nenhum | 100 − 94 | 6 |
Com a tabela pronta, qualquer pergunta vira uma soma de regiões. Tem pelo menos um produto quem está em qualquer região dentro dos círculos: 21 + 19 + 19 + 9 + 14 + 6 + 6 = 94, o mesmo valor da fórmula. Tem exatamente um produto: 21 + 19 + 19 = 59 clientes. Tem exatamente dois: 9 + 14 + 6 = 29 clientes. Tem pelo menos dois: 29 + 6 = 35 clientes. Confira o fechamento: 59 + 29 + 6 + 6 = 100.
Mínimo e máximo da interseção
Algumas questões não dão a interseção. Dão apenas os totais e perguntam: “no mínimo, quantos têm os dois?” ou “no máximo, quantos têm os dois?”. A resposta vem de pensar nos dois extremos: os conjuntos mais separados possível e os conjuntos mais sobrepostos possível.
O máximo acontece quando o menor conjunto está inteiramente dentro do maior. Aí a interseção é igual ao menor deles: n(A ∩ B) ≤ menor entre n(A) e n(B). Nunca pode ser maior, porque a interseção é parte de cada um dos dois.
O mínimo vem da fórmula. Como n(A ∪ B) não pode passar do total N do universo, temos n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ≤ N, que dá n(A ∩ B) ≥ n(A) + n(B) − N. Se essa conta for negativa ou zero, os conjuntos podem ser disjuntos e o mínimo é 0.
Voltando à agência de 80 clientes, com 45 de poupança e 38 de seguro, mas sem informar quantos têm os dois: o máximo é 38 (todos os que têm seguro também têm poupança) e o mínimo é 45 + 38 − 80 = 3. A tabela mostra o que acontece nos dois extremos.
| Situação | P e S | só P | só S | nenhum |
|---|---|---|---|---|
| Mínimo: ninguém fica de fora | 3 | 42 | 35 | 0 |
| Máximo: S dentro de P | 38 | 7 | 0 | 35 |
A primeira linha mostra a sobreposição obrigatória: com 45 + 38 = 83 “vagas” para 80 clientes, pelo menos 3 clientes precisam estar nos dois grupos, e isso só ocorre quando a agência inteira tem pelo menos um produto (nenhum = 0). A segunda linha mostra o outro limite, com o conjunto de seguro todo contido no de poupança, de modo que sobram 35 clientes sem produto algum.
Com três conjuntos, o máximo da interseção tripla continua sendo o menor dos três totais. O mínimo também sai do mesmo raciocínio: o que fica fora de cada conjunto é o seu complemento, e a soma dos complementos limita quantos elementos podem ficar fora de pelo menos um conjunto. O resultado é n(A ∩ B ∩ C) ≥ n(A) + n(B) + n(C) − 2N; se essa conta der zero ou um número negativo, o mínimo é 0. Por exemplo, em um universo de 100 elementos, com conjuntos de 70, 80 e 90, a interseção tripla tem no mínimo 70 + 80 + 90 − 200 = 40 elementos e no máximo 70.
Método para qualquer problema
Os casos acima seguem sempre o mesmo caminho. Fixe o método e use-o de forma mecânica, porque na prova o tempo é curto e a mente trabalha melhor com um roteiro.
Duas verificações rápidas. A primeira é o fechamento do passo 5. A segunda é a ausência de números negativos: uma região com valor negativo indica que os dados do enunciado foram colocados na região errada ou, em último caso, que o enunciado é inconsistente. O fechamento também denuncia enunciados inconsistentes. Veja um exemplo: se um setor de 50 servidores informa que 30 fizeram o curso A, 28 fizeram o curso B, 5 não fizeram nenhum dos dois e 2 fizeram os dois, as contas não fecham. A união deveria ser 50 − 5 = 45, mas 30 + 28 − 2 = 56. Os dados são incompatíveis, e a interseção coerente seria 30 + 28 − 45 = 13.
🧭 Revisão
O que você precisa lembrar
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B): soma-se tudo e desconta-se uma vez o que foi contado duas.
- Com três conjuntos, n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C); o último termo devolve quem foi descontado a mais.
- Preencha o diagrama de dentro para fora: centro, regiões de só dois, regiões de só um e área de fora; as regiões somam o total do universo.
- Os números do enunciado quase nunca são “só”: “45 têm poupança” é o círculo inteiro, e a região exclusiva é 45 menos o que já está nas interseções.
- Traduza com cuidado: “só”, “apenas” e “mas não” são a região exclusiva; “exatamente um” soma as regiões de um círculo só; “pelo menos um” é a união; “nem… nem” é o que está fora.
- Máximo da interseção: o menor dos totais. Mínimo: n(A) + n(B) − N, ou 0 se a conta for negativa.
- Fechamento e ausência de região negativa são as duas conferências do método.
✍️ Exercícios de revisão
Nível 1 · Recordar
Escreva a fórmula de inclusão e exclusão para dois conjuntos e diga o que representa cada termo.
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n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Os termos n(A) e n(B) são os números de elementos de cada conjunto; n(A ∩ B) é o número de elementos que estão nos dois; n(A ∪ B) é o número de elementos que estão em pelo menos um. A subtração existe para que os elementos comuns, somados duas vezes, sejam contados uma só.
Em que ordem se preenche o diagrama de Venn de três conjuntos?
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De dentro para fora: primeiro o centro (nos três conjuntos); depois as três regiões que estão em apenas dois conjuntos (cada interseção dupla menos o centro); depois as três regiões de um conjunto só (cada total menos as regiões já preenchidas dentro dele); por último, a área de fora, que é o total do universo menos tudo o que já foi preenchido.
Indique a região do diagrama que corresponde a cada expressão: (a) “só A”; (b) “nem A nem B”; (c) “pelo menos um dos dois”; (d) “exatamente um dos dois”.
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(a) O círculo de A sem a sobreposição com B: A − B. (b) A área fora dos dois círculos: (A ∪ B)c. (c) Os dois círculos inteiros: A ∪ B. (d) A região só A mais a região só B, sem a sobreposição: (A − B) ∪ (B − A).
Como se calculam o valor máximo e o valor mínimo de n(A ∩ B) quando se conhecem n(A), n(B) e o total N do universo?
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O máximo é o menor entre n(A) e n(B), que ocorre quando o conjunto menor está contido no maior. O mínimo é n(A) + n(B) − N, que decorre de n(A ∪ B) ≤ N; se essa conta der negativa ou zero, o mínimo é 0, porque os conjuntos podem ser disjuntos.
Nível 2 · Compreender
Um aluno resolve o problema da agência (80 clientes, 45 com poupança, 38 com seguro, 15 com os dois) escrevendo 45 na região “só poupança”. Explique o erro e mostre o valor correto.
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O número 45 é o total do conjunto de poupança, isto é, o círculo inteiro, que inclui os 15 clientes que também têm seguro. A região “só poupança” é o círculo menos a sobreposição: 45 − 15 = 30. Escrever 45 conta os 15 clientes em dobro, uma vez em “só poupança” e outra em “poupança e seguro”.
Explique, contando quantas vezes cada grupo é considerado, por que a fórmula de três conjuntos termina com “+ n(A ∩ B ∩ C)”.
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Quem está em um só conjunto é contado uma vez na soma dos três totais, o que está certo. Quem está em exatamente dois é contado duas vezes na soma e uma vez é descontada na subtração das interseções duplas, ficando com uma contagem, o que também está certo. Quem está nos três é contado três vezes na soma e descontado três vezes (uma em cada interseção dupla), ficando com zero contagens. Como deve ser contado uma vez, soma-se n(A ∩ B ∩ C) no final.
No problema dos 100 clientes com três produtos (só P e S: 9; só P e C: 14; só S e C: 6; nos três: 6), diferencie “exatamente dois produtos” de “pelo menos dois produtos” e dê os dois valores.
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“Exatamente dois” exclui quem tem os três: são as três regiões de dois círculos, 9 + 14 + 6 = 29. “Pelo menos dois” aceita dois ou mais, e por isso inclui também o centro: 29 + 6 = 35. A diferença entre as respostas é exatamente a região “nos três”.
Explique por que, num universo de 80 elementos, dois conjuntos com 45 e 38 elementos precisam ter interseção de pelo menos 3 elementos, mas nada impede que a interseção seja de 38.
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A união não pode passar de 80. Como 45 + 38 = 83, há três elementos “a mais” que só cabem se forem contados duas vezes, isto é, se estiverem nos dois conjuntos; logo, a interseção tem no mínimo 3. Já o máximo ocorre quando o conjunto menor, de 38 elementos, está inteiro dentro do maior: a interseção é então o próprio conjunto menor, 38, e nada impede essa situação.
Nível 3 · Aplicar
Uma agência tem 90 clientes. Desses, 52 têm poupança, 44 têm seguro e 18 têm os dois. Quantos clientes (a) têm só poupança; (b) têm só seguro; (c) não têm nenhum dos dois; (d) têm exatamente um dos produtos?
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Comece pela interseção: 18 clientes têm os dois. (a) Só poupança: 52 − 18 = 34. (b) Só seguro: 44 − 18 = 26. (c) A união é 34 + 18 + 26 = 78, ou, pela fórmula, 52 + 44 − 18 = 78; logo, não têm nenhum 90 − 78 = 12. (d) Exatamente um: 34 + 26 = 60.
Conferência: 34 + 18 + 26 + 12 = 90.
Numa repartição com 75 servidores, 46 usam o sistema X, 39 usam o sistema Y e 12 não usam nenhum dos dois. Determine (a) quantos usam algum dos sistemas; (b) quantos usam os dois; (c) quantos usam só X; (d) quantos usam só Y.
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(a) Usam algum sistema 75 − 12 = 63. (b) Isolando a interseção na fórmula, n(X ∩ Y) = n(X) + n(Y) − n(X ∪ Y) = 46 + 39 − 63 = 22. (c) Só X: 46 − 22 = 24. (d) Só Y: 39 − 22 = 17.
Conferência: 24 + 22 + 17 + 12 = 75.
Num bairro, 80 moradores foram consultados sobre o uso de três serviços públicos: biblioteca (A), quadra esportiva (B) e centro de saúde (C). Usam A, 35; usam B, 30; usam C, 28. Usam A e B, 12; A e C, 10; B e C, 9; e usam os três, 5. Determine quantos moradores (a) não usam nenhum serviço; (b) usam exatamente um; (c) usam exatamente dois; (d) usam a biblioteca e a quadra, mas não o centro de saúde.
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Centro: 5. Só dois: A e B sem C = 12 − 5 = 7; A e C sem B = 10 − 5 = 5; B e C sem A = 9 − 5 = 4. Só um: só A = 35 − (7 + 5 + 5) = 18; só B = 30 − (7 + 4 + 5) = 14; só C = 28 − (5 + 4 + 5) = 14.
A soma das regiões é 5 + 7 + 5 + 4 + 18 + 14 + 14 = 67, o mesmo valor da fórmula: 35 + 30 + 28 − 12 − 10 − 9 + 5 = 67. (a) Nenhum: 80 − 67 = 13. (b) Exatamente um: 18 + 14 + 14 = 46. (c) Exatamente dois: 7 + 5 + 4 = 16. (d) Biblioteca e quadra, sem centro de saúde: 7. Conferência: 46 + 16 + 5 + 13 = 80.
Numa pesquisa com 60 clientes sobre três produtos P, S e C, o levantamento informou apenas as regiões: só P, 12; só S, 15; só C, 10; só P e S, 5; só P e C, 4; só S e C, 3; os três, 2. Determine (a) n(P), n(S) e n(C); (b) quantos clientes têm algum produto; (c) quantos não têm nenhum.
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Aqui o caminho é o inverso: dos pedaços para os totais. (a) O círculo de P reúne quatro regiões: n(P) = 12 + 5 + 4 + 2 = 23. Em S: n(S) = 15 + 5 + 3 + 2 = 25. Em C: n(C) = 10 + 4 + 3 + 2 = 19. (b) Têm algum produto 12 + 15 + 10 + 5 + 4 + 3 + 2 = 51. (c) Não têm nenhum 60 − 51 = 9.
Numa repartição com 60 servidores, 40 falam inglês e 35 falam espanhol. Sem outras informações, determine o menor e o maior número de servidores que falam as duas línguas. Depois, supondo que todos falem pelo menos uma das duas, determine quantos falam só inglês e quantos falam só espanhol.
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Máximo: o menor dos totais, 35 (todos que falam espanhol falam também inglês). Mínimo: 40 + 35 − 60 = 15, pois a união não pode passar de 60.
Se todos falam pelo menos uma língua, a união é 60, e a interseção é exatamente 40 + 35 − 60 = 15. Falam só inglês 40 − 15 = 25 e só espanhol 35 − 15 = 20. Conferência: 25 + 15 + 20 = 60.
Nível 4 · Analisar
Um aluno, no problema da agência de 80 clientes (45 com poupança, 38 com seguro, 15 com os dois), escreveu 45, 38 e 15 nas regiões “só P”, “só S” e “P e S”, e concluiu que 98 clientes têm algum produto. Aponte o erro, mostre como o próprio enunciado o denuncia e refaça a conta.
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O erro é tratar os totais 45 e 38 como regiões exclusivas, quando cada um já inclui os 15 clientes da interseção. O enunciado denuncia o erro: o resultado, 98, é maior que os 80 clientes da agência, o que é impossível. Refazendo: só P = 45 − 15 = 30, só S = 38 − 15 = 23, e a união é 30 + 15 + 23 = 68 (ou 45 + 38 − 15 = 68). Os 15 clientes foram contados três vezes na conta do aluno e deveriam ser contados uma.
Um relatório de uma agência com 70 clientes informa: têm cartão de crédito, 42; têm cheque especial, 36; não têm nenhum dos dois, 8; têm os dois, 10. Mostre que os dados são incompatíveis, ainda que nenhum número passe do total da agência, e indique qual deveria ser o número de clientes com os dois produtos para que o relatório fosse coerente.
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Se 8 clientes não têm nenhum dos produtos, 70 − 8 = 62 têm pelo menos um. Pela fórmula, a união seria 42 + 36 − 10 = 68, e 68 ≠ 62; portanto os dados se contradizem. Repare que 68 não passa de 70: a incoerência não aparece comparando cada número com o total, só no fechamento. Pelas regiões, o relatório daria 32 + 10 + 26 + 8 = 76 clientes, e não 70. Mantidos os demais números, a interseção coerente seria 42 + 36 − 62 = 16 clientes; com ela, só cartão = 26, só cheque especial = 20, e 26 + 16 + 20 + 8 = 70.
No problema dos 100 clientes (P = 50, S = 40, C = 45; P e S = 15, P e C = 20, S e C = 12; os três = 6), um analista calculou 50 + 40 + 45 − 15 − 20 − 12 = 88 e concluiu que 12 clientes não têm nenhum produto. Identifique o erro, corrija o resultado e explique onde estão os clientes que o analista “perdeu”.
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O analista esqueceu o último termo da fórmula, + n(P ∩ S ∩ C) = + 6. Os 6 clientes que têm os três produtos foram contados três vezes na soma e descontados três vezes nas interseções duplas, ficando com zero contagens; por isso sumiram da união. A conta correta é 88 + 6 = 94; logo, não têm nenhum produto 100 − 94 = 6 clientes, e não 12. Os 6 clientes “perdidos” estão no centro do diagrama, e foram tratados como se não tivessem produto algum.
Uma agência tem 100 clientes. Usam o aplicativo do banco (A) 75 clientes, têm cartão de débito (D) 85 e têm débito automático de contas (E) 90. Sem outras informações, determine o menor e o maior número possível de clientes que têm os três serviços, n(A ∩ D ∩ E), e explique como cada extremo pode ser alcançado.
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Máximo: o menor dos totais, 75, alcançado quando todos os que usam o aplicativo também têm os outros dois serviços (A ⊂ D ⊂ E ou qualquer encaixe em que A fique contido em D e em E); a interseção tripla é então o próprio A.
Mínimo: os clientes que ficam fora de cada serviço são 100 − 75 = 25, 100 − 85 = 15 e 100 − 90 = 10, num total de 50. No caso mais favorável para “espalhar” os que ficam de fora, esses grupos não se sobrepõem, e 50 clientes ficam sem pelo menos um serviço. Sobram 100 − 50 = 50 clientes com os três: o mínimo é 50, que é 75 + 85 + 90 − 2 × 100. Esse valor é alcançado exatamente quando os três grupos de “fora” são disjuntos.
Você concluiu o estudo sobre os problemas com conjuntos e diagramas de Venn. No próximo tópico, avançaremos para o número de subconjuntos, onde veremos por que um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos e como o conjunto vazio e o próprio conjunto entram nessa conta. Continue firme nos estudos!
Os casos apresentados são hipotéticos, elaborados para fins didáticos.